Tidsserier

• Vi har redan tittat på diagram över tidsserier, där vi studerar hur en numerisk variabel utvecklas över en given tidsperiod
• Detta är exempel exempel på samband mellan två numeriska variabler, då även tiden är en numerisk variabel
• Figuren visar en tidsserie av årsvisa genomsnittliga prediktionsfel i nautiska mil i lokalisering av orkaner i Atlanten

Spridningsdiagram (scatter plots)

• Samband mellan två numeriska variabler kan illustreras med hjälp av ett spridningsdiagram (scatter plot)
• Diagrammet ovan illustrerar en tidsserie, och är alltså ett exempel på ett spridningsdiagram

Att läsa av ett spridningsdiagram

• Vi har ett datamaterial med information om olika prisnivåer i 73 länder
• I nästa slide finns fyra olika spridningsdiagram, där varje röd punkt representerar ett land

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel A

• I Diagram A har vi matpriser på y-axeln, och klädpriser på x-axeln
• Är sambandet positivt eller negativt?

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel B

• I Diagram B har vi arbetstimmar för att tjäna ihop till en iPhone på y-axeln, och medellön per timme på x-axeln
• Är sambandet positivt eller negativt?

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel C

• I Diagram C har vi klädprisindex på y-axeln, och arbetstid per år på x-axeln

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel

Att läsa av ett spridningsdiagram – Exempel D

• I Diagram D har vi matpriser på y-axeln, och semesterdagar per år på x-axeln
• Kommentarer?
  • Är sambandet positivt eller negativt?
  • Är sambandet linjärt eller icke-linjärt?

Spridningsdiagram - X och Y

• Hur bestämmer vi vilken variabel som är y och vilken som är x?
• Ofta finns det inget korrekt svar, men vi kan använda tumregler för vad som är rimligast

Spridningsdiagram - X och Y

• Bilden visar räckvidden per gallon bensin mot vikten hos en bil
• Vilken av följande frågor låter rimligast?
  • Brukar bensinförbrukningen vara högre för bilar som väger mer?
  • Brukar bilar vara tyngre om de förbrukar mer bensin?
• Om den första frågan låter mer rimlig väljer vi grafen till vänster

Spridningsdiagram - X och Y

• Det finns flera olika namn som används för x- respektive y-variabeln
• Variabeln y kallas i vissa sammanhang responsvariabeln (response variable)
• Variabeln x kallas ibland för förklaringsvariabeln (explanatory variable)

Linjära samband mellan numeriska variabler

Linjära samband mellan numeriska variabler

• Vi ser på bilden att sambandet är positivt – de datapunkter som har ett stort värde på x-axeln tenderar att också ha ett stort värde på y-axeln
• För att göra sambandet ännu tydligare kan vi rita ut variablernas medelvärden i grafen
• Vi markerar \(\bar{x}\) med ett vertikalt streck och \(\bar{y}\) med ett horisontellt streck (se bilden på nästa sida)

Linjära samband mellan numeriska variabler

Linjära samband mellan numeriska variabler

• De gröna punkterna påverkar sambandet i positiv riktning
• De röda punkterna påverkar sambandet i negativ riktning
• De gröna punkterna är fler, vilket indikerar att sambandet är positivt
• Fler röda punkter hade indikerat ett negativt samband

Linjära samband mellan numeriska variabler

• Att räkna punkter i olika sektioner av plotten är ett enkelt och intuitivt sätt att bedöma riktningen på sambandet
• Men vi vill ofta kunna räkna ut hur starkt det linjära sambandet är
• Vi vill ha ett mått som inte beror på vilka enheter vi använder för variabler – oavsett om vi mäter längd i meter eller tum ska resultatet bli detsamma

Standardiserade numeriska variabler

• Vi har tidgare räknat med z-värden för numeriska variabler – dessa har fördelen att de är lika stora oavsett enhet som en variabel mäts i
• Vi kallar z för en standardiserad variabel, då den har en “standardenhet”

Standardiserade numeriska variabler

• Vi förtydligar detta med ett exempel i R, med variablerna weight_pounds och weight_kg (vikt på olika bilmodeller)
• Variablerna anger vikt på samma bilar, fast i olika enheter, och vi ska visa att de får samma värden efter standardisering

head(weight_pounds)

[1] 2.620 2.875 2.320 3.215 3.440 3.460

weight_kg <- weight_pounds * 0.454
head(weight_kg)

[1] 1.18948 1.30525 1.05328 1.45961 1.56176 1.57084

Standardiserade numeriska variabler

• Nu standardiserar vi var och en av variablerna till z-värden enligt \[ z_i = \cfrac{x_i - \bar{x}}{s},\;\;\;\; \bar{x} = \cfrac{\sum_i x_i}{n}, \;\;\;\; s=\sqrt{\cfrac{\sum_i (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}. \]

• Genom standardisering byter vi enhet från kg eller pounds till standardavvikelser

• Eftersom variablerna mäter samma sak förväntar vi oss att de ska få samma standardiserade värden

Standardiserade numeriska variabler

• Vi standardiserar i R för att dubbelkolla, och börjar med weight_pounds

weight_pounds_z <- (weight_pounds - mean(weight_pounds)) /
  sd(weight_pounds)
head(weight_pounds_z) |> round(3)

[1] -0.610 -0.350 -0.917 -0.002  0.228  0.248

weight_kg_z <- (weight_kg - mean(weight_kg)) /
  sd(weight_kg)
head(weight_kg_z) |> round(3)

[1] -0.610 -0.350 -0.917 -0.002  0.228  0.248

Korrelationskoefficienten

• För att mäta styrkan på det linjära sambandet använder vi korrelationskoefficienten (correlation coefficient), som beräknas enligt

\[r = \cfrac{\sum{z_x z_y}}{n-1}\]

• Eftersom beräkningen använder de standardiserade variablerna \(z_x\) och \(z_y\) blir korrelationskoefficienten oberoende av enheterna för \(x\) och \(y\)

Korrelationskoefficienten

• Om korrelationskoefficienten är positiv har vi ett positivt linjärt samband mellan variablerna
• Omkorrelationskoefficienten är negativ har vi ett negativt linjärt samband
• Korrelationsmåttet är symmetriskt, vilket betyder att korrelationen mellan \(x\) och \(y\) är densamma som korrelationen mellan \(y\) och \(x\)

Korrelationskoefficienten

• Vi kommer ihåg att korrelationskoefficienten beräknas som \[ r = \cfrac{\sum{z_x z_y}}{n-1} \]

• Vi ser i formeln att korrelationskoefficienten blir positiv om uttrycket \(\sum{z_x z_y}\) är positivt, och att korrelationen är starkare när uttrycket är stort

• När uttrycket \(\sum{z_x z_y}\) är negativt blir korrelationen negativ, och om uttrycket är ett stort negativt tal är den negativa korrelationen starkare

Korrelationskoefficienten

• Notera att multiplikationen \(z_x z_y\) är positiv när
  • både \(z_x\) och \(z_y\) är positiva
  • både \(z_x\) och \(z_y\) är negativa
• På motsvarande sätt är multiplikationen \(z_x z_y\) är negativ när
  • \(z_x\) är positiv och \(z_y\) är negativ, eller vice versa

Korrelationskoefficienten

• Den här grafen visar två exempel på hur ett perfekt positivt linjärt samband kan se ut
• Både \(y_1\) och \(y_2\) är perfekt korrelerade med \(x\), dvs \(r = 1\) för båda sambanden, trots att linjerna har olika lutning

Korrelationskoefficienten

• Den här grafen visar två exempel på hur ett perfekt negativt linjärt samband kan se ut
• Både \(y_1\) och \(y_2\) är perfekt korrelerade med \(x\), dvs \(r = -1\) för båda sambanden, trots att linjerna har olika lutning

Korrelationskoefficienten

• De här graferna visar två exempel på linjära samband som inte är perfekta
• Den blå grafen visar ett en starkare korrelation än den röda grafen, trots att de blå punkterna är utspridda medan de röda punkter följer en tydlig linje
• Även om de blå punkterna är mer spridda följer de en rak linje, medan de röda punkterna följer en böjd linje (kurva)
• Kom ihåg att korrelation bara mäter styrkan i det linjära sambandet

Korrelationskoefficienten

• Bara för att det finns något samband, betyder det inte att det finns korrelation
• Kom ihåg att korrelation mäter linjärt samband mellan två numeriska variabler
• I Figuren nedan finns ett uppenbart samband mellan god smak (y) och baktemperatur (x) för kladdkakor – ändå är korrelationen nära noll!

Korrelationer i R

• I R kan vi enkelt rita ett spridningsdiagram för 2 numeriska variabler
• Datamaterialet trees anger omkrets (girth), höjd (height) och volym (volume) för 31 träd

data(trees)
plot(x=trees$Girth, y=trees$Height, pch=19, cex=1.5,
     col="steelblue", xlab="Omkrets", ylab="Höjd")

Korrelationer i R

• Vi kan räkna ut korrelationskoefficienten för två variabler med funktionen cor()

cor(trees$Girth, trees$Height) # Korrelation omkrets, höjd

[1] 0.5192801

Korrelation är inte kausalitet

• Figur 6.10 i De Veaux et al. (2021) visar ett tydligt linjärt samband mellan antalet storkar och befolkningsmängden under sju år i en stad i Tyskland
• Det sägs ibland att storkar kommer med barn, och det skulle ju kunna förklara varför antalet människor blir fler när det kommer många storkar
• Korrelationskoefficienten är \(r=0.97\), så det linjära sambandet är starkt

Korrelation är inte kausalitet

• Slutsatsen om att fler storkar leder till fler människor är en kausal tolkning av korrelationen – den gör en utsaga om ett orsakssamband

• Är slutsatsen rimlig? Skulle vi kunna få barn även om storkarna försvann?

• Kanske är sambandet det omvända? Storkar bygger bon på skorstenar, och fler människor betyder fler hus med skorstenar där storkarna kan bygga bon

Korrelation är inte kausalitet

• Figuren från Harvard Onlines Facebooksida, och visar antalet drunkningsolyckor (y) och glassproduktion (x) under en månad
• Kausal tolkning: När det produceras mer glass måste folk äta upp glassen, och för mycket glass gör att människor inte orkar simma lika långt

Korrelation är inte kausalitet

• Omvänd kausal tolkning: Folk blir ledsna och tröstäter glass när de läser om drunkningsolyckor, så mer glass produceras i tider då många drunknar
• Ingen av de kausala tolkningarna är särskilt bra, men vi har en uppenbar lurking variable
• Årstiden påverkar både antalet drunkningsolyckor och glassproduktionen! Folk badar mer och äter mer glass under sommarmånader

Samband mellan fler än två numeriska variabler

• Om vi har tre eller fler numeriska variabler kan vi göra parvisa spridningsdiagram med funktionen pairs() i R

pairs(trees, col="steelblue", pch=19, cex=1)

Samband mellan fler än två numeriska variabler

• Om vi har flera variabler kan vi skapa en tabell med parvisa korrelationer

• Tabell 6.1 i De Veaux et al. (2021) innehåller t.ex. en korrelationstabell för olika finansiella mått från Forbes

Samband mellan fler än två numeriska variabler

• I R funktionen cor() även skapa en korrelationstabeller, men då måste vi ge en hel data frame som input
• Viktigt! Detta fungerar bara om alla variabler i vår data frame är numeriska

cor(trees)

           Girth    Height    Volume
Girth  1.0000000 0.5192801 0.9671194
Height 0.5192801 1.0000000 0.5982497
Volume 0.9671194 0.5982497 1.0000000

• Jämför matrisens nedre vänstra del med dess övre högra del!

Betingad korrelation - Ett vilseledande samband

• Vi ska nu titta på ett exempel där en dold variabel (lurking variable) helt förändrar vår tolkning av sambandet.
• Scenario: Vi undersöker sambandet mellan lön och yrkeserfarenhet hos ett företag.
• När vi plottar all data tillsammans ser vi en typ av samband
• När vi betingar på en nyintroducerad variabel, yrkeskategori, så blir bilden en annan
• Notera att detta endast är data som jag har simulerat i R

Betingad korrelation, forts.

• Vi kan inte se något (eller möjligtvis ett väldigt svagt) samband mellan erfarenhet och lön

Betingad korrelation, forts.

• Nu kan vi tydligt se ett samband mellan erfarenhet och lön, när vi har betingat på yrkeskategori
• Detta är ett annat exempel på Simpson’s paradox (se föreläsning 3)

Credits

Dessa slides skapades av Karl Sigfrid för kursen Statistik och Dataanalys I och har uppdaterats av Oskar Gustafsson och Valentin Zulj